TRAVAUX DE RECHERCHES MATHEMATIQUES DE M NGOME MARTIN

TRAVAUX DE RECHERCHES MATHEMATIQUES PAR NGOME MARTIN PCEG MATHS A NANGA-EBOKO (CAMEROUN) TEL : +237 96 58 39 63/ +237 79 22 77 92

SOUMISSION A LA CRITIQUE

LE CONTEXTE DE MES TRAVAUX

<<Dès la classe de Terminale, j’ai très vite été intéressé par l’Arithmétique. En effet, cette branche des Mathématiques qui traite des propriétés des éléments de l’ensemble Z des entiers relatifs est omniprésente dans la vie quotidienne à travers les opérations arithmétiques (addition, soustraction, division entière, numérotation, comptage, etc.) que nous effectuons au cours de nos différentes activités. Mon intérêt pour l’Arithmétique a été accentué lorsque je fus au courant de l’emploi des notions et résultats d’Arithmétique en informatique, en cryptologie : étude des techniques mathématiques liées à la sécurité de l’information, c'est-à-dire la confidentialité, l’intégralité des données, l’authentification d’une entité (personne, ordinateur, carte de crédit, etc.) et l’authentification de l’origine de données, et dans bien d’autres domaines.

        Cependant, à la fin du paragraphe consacré aux nombres premiers, je suis resté sur ma fin, car le théorème qui caractérise un nombre premier ne m’a pas satisfait. En effet, ce théorème s’appui sur les nombres premiers inférieurs ou égaux à la racine carrée du nombre dont on veut vérifier la primalité, ce qui à mon avis paraissait complexe. Au cours de mes recherches sur internet, et dans les livres d’arithmétique, j’ai rencontré le théorème de WILSON qui stipule ceci : << Un nombre entier p≥2 est premier si et seulement si (p-1)! +1 Ξ 0 [p] >>. J’ai aussi rencontré le théorème suivant : << Un entier naturel p (p≥2) est premier si et seulement si p divise Ckp, pour k=1,2,…, p-1. >>

        Mais en tant que test de primalité, ces deux théorèmes sont limités, du point de vue calculatoire ; il n’y a qu’à voir, par exemple, les calculs nécessaires quand on veut tester si 19 est premier, en utilisant le théorème de WILSON. Ainsi, je ne pu trouver satisfaction à mon désir. C’est la raison pour laquelle, en 2006, je me suis résolu de caractériser moi aussi les nombres premiers. Pour atteindre cet objectif, je me suis lancé dans une piste qui consiste à caractériser d’abord les diviseurs positifs d’un entier naturel quelconque, et ensuite appliquer le résultat obtenu aux nombres premiers. C’est donc en creusant intensément mon cerveau pendant près de trois ans, que je pu arrêter en fin 2009 la rédaction définitive de ce mémoire. >>

    1- Théorème : Soit n un entier naturel non nul, et C(n)= {u є [4n ; (n+1)2] / u et u- 4n soient des carrés parfaits}, D(n) l’ensemble des diviseurs de n dans N. x є D(n) = x= (√u-√(u-4n))/2, u є C(n), ou x=(√u+√(u-4n))/2, u є C(n)

    2- Première application (Caractérisation des nombres premiers) Soit p un entier naturel, p≥2. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes : i) p est premier, et ii) Pour tout carré parfait u compris entre 4p et p2, u-4p n’est pas un carré parfait. Remarque : << Ce théorème, contrairement à la démarche classique a pour avantage de ramener le problème de la reconnaissance d’un nombre premier à celui de la reconnaissance d’un carré parfait, ce qui est relativement plus aisé.>> NGOME Martin.

    3- Deuxième application : Le théorème précédent permet de résoudre dans Z2, les équations du type x2p+1-y2p+1=n, p є N, p>1, n є N*. Les solutions sont connues explicitement. Voir les détails.

    4- Troisième application :

    Propriété 1 : (caractérisation des carrés parfaits) Soit n є N*, (n est un carré parfait) si et seulement si (le nombre de diviseurs de n dans N est impair)

    Propriété 2 : (Produit des diviseurs) Soit n є N*, Le produit des diviseurs positifs de n est égal à n[cardD(n)]/2, où D(n) est l’ensemble des diviseurs positifs de n.

    Propriété 3 : (Somme des diviseurs positifs de n) Soit n є N* - Si n est un carré parfait, alors la somme des diviseurs positifs de n est égal à (∑√u)-√n, lorsque u décrit C(n). – Si n n’est pas un carré parfait, alors la somme des diviseurs positifs de n est égale à ∑√u, u décrivant C(n).

    Si vous souhaitez en avoir de plus amples informations, bien vouloir contacter - M NGOME Martin (+237 96 58 39 63/ +237 79 22 77 92) ou - M KOM Bernard (+237 99 87 74 59), Email : kombernar@yahoo.fr

    Fait à Douala le 16 septembre 2010.

    KOM Bernard

Ampliations : -Conseil de Maths 1er trimestre Lycée Joss -Inspecteurs de Maths - Professeurs de maths

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