ENSEIGNER LA DEMONSTRATION MATHEMATIQUES EN CLASSE DE 4IEME

MINISTERE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES                                                                                                                                      DELEGATION REGIONALE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES                                                                                                                  DELEGATION DEPARTEMENTALE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES                                                                                                  LYCEE JOSS DE DOUALA                                                                                                                                                                             CELLULE SCIENTIFIQUE                                                                                                                                                                                 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

 

DE L’INITIATION A LA DEMONSTRATION

 

MATHEMATIQUE EN CLASSE DE 4IEME :

 

UNE POSSIBILITE  D’AMELIORATION

 

 

 

EXPOSE LE 29 SEPTEMBRE 2011

 

                           AU LYCEE JOSS

                 PAR

KOM BERNARD

 

ENSEIGNANT DE MATHEMATIQUES, CHERCHEUR INDEPENDANT.

 

            Dans les programmes scolaires CIAM (Collection Inter- Africaine de Mathématiques) actuellement en vigueur dans les pays francophones d’Afrique et de l’océan indien, l’une des difficultés d’exploitation, d’un avis quasi-général, est le programme particulier de la classe de 4ième.

 

            Ce dernier programme, comme ceux de quelques autres niveaux d’enseignement, présente la spécificité d’être relativement long, et surtout, il comporte dans son chapitre premier de géométrie (intitulé RESOUDRE DES PROBLEMES DE GEOMETRIE), le problème de l’initiation des apprenants à la démonstration mathématique.

 

            Comment apprendre aux élèves l’art de la démonstration mathématique ? Voilà une problématique à laquelle l’enseignant de Mathématiques se heurte assez souvent dans ses enseignements.

 

            Quelles facilités peut-on espérer apporter à la résolution de cette difficulté ? Quels voies et moyens peuvent-ils permettre à la démonstration mathématique de devenir une activité courante auprès de nos jeunes apprenants ?

 

            Après avoir évoqué à nouveau le problème à résoudre, le présent support dégage une proposition de solution au problème, puis les conséquences qui en découlent.

 

DE LA DIFFICULTE RENCONTREE

 

            Afin de rappeler en exergue le problème à résoudre, l’on peut s’inspirer de la première activité du chapitre, en page huit (8) du livre au programme, dont voici l’énoncé :

 

Enoncé : ABCD et CDBE sont deux parallélogrammes. Démontrer que B est le milieu du segment [AE].

 

Organigramme proposé de la démonstration :

 

Etape1 : Comme ABCD est un parallélogramme, alors (AB) // (DC).

              Comme CDBE est un parallélogramme, alors (BE) // (DC).

              Il en découle que les points A, B et E sont alignés.

 

Etape2 : Comme ABCD est un parallélogramme alors AB=DC.

              Comme CDBE est un parallélogramme alors BE=DC

               Il en découle que AB=BE

 

Etape3 : Comme ((A, B et E sont alignés)  et (AB=BE)) alors (B est milieu de [AE])

 

Analyse de la difficulté :

- Si l’élève a oublié la définition du parallélogramme, il peut rater la figure et avoir zéro sur l’exercice.

- Si l’élève connaît la définition d’un parallélogramme, et ne peut le schématiser, il peut encore avoir zéro sur l’exercice.

- Il est peu sûr qu’un élève moyen venant de la classe de cinquième, soit à mesure de reproduire tout seul les trois étapes ci-dessus qui résument la démonstration.

 

Si pour un tel exercice d’au plus deux lignes, la démonstration vient à couvrir trois telles étapes, il y a lieu de penser que le sujet serait compact pour un apprenant de la classe de 4ième.

            Un constat analogue peut être fait pour la deuxième activité du même chapitre, en page dix (10) du livre au programme, sur “Démontrer qu’une droite est la médiatrice d’un segment “. C’est le cas aussi pour la quasi-totalité des exercices de fin de chapitre, relatifs à la démonstration, en page 14, où les questions, uniques, semblent relativement fermées, hermétiques.

 

DE LA PROPOSITION DE SOLUTION

 

            L’idée générale de la proposition consiste à simplifier davantage les questions à poser à l’élève, c’est-à-dire décomposer les questions compactes en éléments simples (questions élémentaires), capables d’accompagner ce dernier dans l’apprentissage de la démonstration mathématique.

 

1-      UNE APPROCHE DIDACTIQUE D’INITIATION À LA DEMONSTRATION MATHEMATIQUE.

     

            Afin de dispenser son cours sur cette notion, en clase de 4ième, le professeur peut procéder ainsi qu’il suit, après avoir inscrit le titre de la leçon au tableau :

 

Etape 1 : Demander aux élèves de rappeler la définition du mot “Hypothèse“, car ils ont vu la notion, en classe de 6ième, déjà. Formuler ensuite une définition d’une hypothèse comme étant une donnée, comme ce que l’on connaît, en vue de résoudre un problème.

 

Etape 2 : Faire un travail analogue avec le mot “Conclusion “ qui est un résultat, une propriété ou un théorème établi, ou l’aboutissement d’un processus logique.

 

Etape 3 : Faire pareil avec le mot “Démontrer“ qui signifie simplement “Prouver“, “Justifier“, en utilisant, de manière cohérente, des propriétés mathématiques.

 

Etape 4 : Faire une activité en classe pour fixer les idées chez les élèves. Dans ce travail dirigé, l’enseignant peut procéder par un questionnement continu de la façon suivante :

 

a)      “ Qui peut nous donner l’une des hypothèses de ce problème ? Est-ce tout, ou y en a –t-il d’autres ? “.  Faire dégager ces hypothèses (H1), (H2), etc, au fur et à mesure, à la verticale au tableau, par des élèves successifs, eux-mêmes.

 

b)      Faire de même avec “ Qui peut nous dégager la (ou les) conclusion(s) de notre problème ? “.

 

c)      “ Qui peut venir au tableau faire une figure relative à notre problème ? “. Utiliser à cette fin deux ou trois élèves, si possible.

 

d)      “ Qui peut nous mettre des codes sur la figure ? “.

 

e)      Démarrer la démonstration proprement dite, en accompagnant les élèves avec des questions du type suivant :

“ Comme (…), que peut-on en déduire ? “, ou encore,

“ Comme (…), que peut-on en déduire pour (…) ? “.

 

f)       Rédiger ensuite chacune des réponses reçues sous la forme :

 “ Etape… : Comme (…) alors (…) “. Le faire écrire par plusieurs élèves successifs, dans la mesure du possible.

 

Remarque 1 : La rédaction de la démonstration, à ce stade initiatique, gagnerait à éviter autant que faire se peut, les connecteurs logiques d’implication et surtout d’équivalence, lesquels malheureusement contribuent le plus souvent à rendre la compréhension hermétique.

      Par contre l’usage de termes simples tels que “si“, “alors“, “comme “, “ainsi“, “on constate que“, “il s’en déduit que“, etc, sont fortement souhaitables.

 

2-      UNE APPROCHE D’EVALUATION SUR LA DEMONSTRATION MATHEMATIQUE. ?

 

La proposition, dans ce contexte, suggère simplement une reformulation des questions ou même une refonte général du questionnaire de l’exercice à proposer, afin de rendre les choses plus digestes pour l’apprenant. Et comment ?

 

a)             Demander toujours, tant que c’est possible, “ Faire une bonne figure et la coder entièrement. “, en guise de première question de l’exercice.

 

b)             Demander toujours, tant que c’est possible, “Enumérer verticalement les hypothèses (H1), (H2), etc, de l’exercice. “.

 

c)              Décomposer ensuite le problème à résoudre en plusieurs petites questions élémentaires dont chacune est résoluble par une simple implication visible par l’élève. Ces dernières devraient de préférence être rédigées sous la forme  “ Comme (…) que peut-on en déduire pour (…) ?“, et devraient bien entendu garder la cohérence nécessaire.

 

DES CONSEQUENCES DE LA PROPOSITION

 

1-      Application didactique dans une salle de classe : A programmer par l’inspection, dans une salle de classe, avec possibilité de réprise ailleurs, pour une meilleure expérimentation.

 

2-       Application à un exercice d’évaluation : (Cas de l’activité précédente en page huit (8))

 

Pour être soumis en évaluation, l’exercice en question pourrait être refondu de la manière suivante :

 

Exercice : ABCD et CDBE sont deux parallélogrammes. On se propose de démontrer que le point B est le milieu du segment [AE].

 

1) Rappeler deux définitions d’un parallélogramme, en utilisant ses côtés.

2) Faire une bonne figure et la coder entièrement.

3) a- Comme ABCD est un parallélogramme, que peut-on dire des droites (AB) et (DC) ?

     b- Que peut-on dire, de façon analogue, des droites (BE) et (DC) ? Justifier.

     c-  Déduire des deux questions précédentes que les points A, B et E sont alignés.

4) a- Comme ABCD est un parallélogramme, que peut-on dire de AB et DC ?

    b- Justifier que BE=DC.

    c- Comparer AB et BE.

5) En utilisant les résultats 3 c) et 4 c), conclure.

 

Remarque 2 : Les questions 3) et 4) précédentes pourraient être autrement reformulées, comme suit :

 

3) a- Justifier que (AB) // (DC) et (BE) // (DC).

    b- Que peut-on en déduire pour les points A, B et E ?

4) a- Justifier que AB=DC et BE=DC.

    b- Que peut-on en déduire ?

 

3-      Autres conséquences :

La proposition d’amélioration, ici faites, a aussi pour conséquences ceci :

 

i) Elle peut exiger un peu plus de patience à l’enseignant en face de l’apprenant.

 

ii) Elle exige, par ailleurs, une refonte progressive des exercices classiques à soumettre en démonstration. Un travail faisable individuellement et progressivement par chaque professeur, ou encore au cours d’un séminaire atelier de Mathématiques. Le talent de questeur est ainsi sollicité chez l’examinateur.

 

iii) La refonte, au sens précédent, d’un exercice, contribue à augmenter sa longueur, et probablement aussi son quota de point, et tout cela sont des éléments à prendre en compte lors de la composition d’un sujet d’évaluation.

 

            Enfin, voilà proposée, une approche désireuse d’améliorer la technique actuelle d’enseignement de la démonstration mathématique en classe de quatrième (4ième). Cette démarche, comme les autres, vise simplement la vulgarisation de la notion de démonstration auprès de nos jeunes apprenants, afin de former des Mathématiciens toujours plus valeureux.

Elle comporte naturellement ses insuffisances que seule la critique constructive peut aider à dégager. Merci. 

 

classe Mathématiques Démonstration quatrième Initiation Apprenant Elémentaire Elève

Commentaires (5)

1. Maïkoné Marie Prudence 26/06/2012

je serai ravi de m'exercer en mathématique. c'est une leçons très constructive pour mon avenir. merci

2. Maïkoné Marie Prudence 26/06/2012

ajouter des connaissances et à apprendre. merci

3. Maïkoné Marie Prudence 26/06/2012

application des données en matière mathématique. merci

4. Maïkoné Marie Prudence 26/06/2012

exécuter les données comptables. merci

5. panafrique (site web) 26/06/2012

Salut Prudence. En quoi peut-on vraiment vous être utile? D'où écrivez-vous?

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